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1 题目

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。 今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0, a1, b0, b1，设某未知正整数 x 满足：

• 1. x 和 a0 的最大公约数是 a1；
• 2. x 和 b0 的最小公倍数是 b1；

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

输入第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。
接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。

输出格式

输出共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x ，请输出 0 ； 若存在这样的 x ，请输出满足条件的 x 的个数；

样例输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

样例输出

6
2

样例说明

第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。
第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。

2 分析

首先，直接暴力枚举只能过 $50\%$ 的数据。

1. 关于两个定理：

• 最大公约数

  int gcd(int a, int b){   
      return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);     
  }
  

• 最小公倍数

  int lcm(int a, int b){
      return a * b / gcd(a, b);
  }
  

2. 一个结论：设 $gcd(x, a_0)=a_1$ ，并有

则 $gcd(k_1,k_2)=1$ 。

证明：

• 假设 $gcd(k_1,k_2)\neq1$，$gcd(k_1,k_2)=K$，并有

  $$ \left\{ \begin{aligned} k_{1}=p*K \\ k_{2}=q*K& \end{aligned} \right. $$

• 由假设得：

  $$ \left\{ \begin{aligned} x=p*K*a_{1} \\ a_{0}=q*K*a_{1}& \end{aligned} \right. $$

• 可得 $gcd(x,a_0)=K*a_1\neq a_1$，结果与题目条件不符，假设不成立

• 则 $gcd(k_1,k_2)=1$

因此可得：

对于两个正整数 $a,b$ ，设 $gcd(a,b)=k$ 则存在 $gcd(a / k,b / k)=1$

3. 推导

• 由最大公约数定理

  $$ gcd(x,a_{0})=a_{1} $$

  得

  $$ gcd(\frac {x} {a_{1}} ,\frac {a_{0}}{a_{1}})=1 $$

• 由最小公倍数定理

  $$ lcm(x,b_{0})=b_{1}=\frac {x*b_{0}}{gcd(x,b_{0})} $$

  则

  $$ gcd(x,b_{0})=\frac{x*b_{0}}{b_{1}} $$

  得

  $$ gcd(\frac {b_1} {b_{0}} ,\frac {b_{1}}{x})=1 $$

4. 最终可得如下结论：

3 题解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

int gcd(int a, int b){
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    while(n--){
        int a0, a1, b0, b1, ans = 0;
        cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;
        for(int x = 1;x <= sqrt(b1);x++){
            if(b1 % x == 0){
                if(x % a1 == 0 && gcd(x / a1, a0 / a1) == 1 && gcd(b1 / x, b1 / b0) == 1){
                    ans++;
                }
                //枚举另一个因子 
                int y = b1 / x;
                if(y == x){
                    continue;
                }
                if(y % a1 == 0 && gcd(y / a1, a0 / a1) == 1 && gcd(b1 / y, b1 / b0) == 1){
                    ans++;
                }
            }
        }
        if(ans != 0){
            printf("%d\n", ans);
        }else{
            printf("0\n");
        }
    }
    return 0;
}