Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。 今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0, a1, b0, b1，设某未知正整数 x 满足：
- x 和 a0 的最大公约数是 a1；
- x 和 b0 的最小公倍数是 b1；
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。
接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除，b1 能被 b0 整除。
输出共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x ，请输出 0 ； 若存在这样的 x ，请输出满足条件的 x 的个数；
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
6
2
第一组输入数据，x 可以是 9、18、36、72、144、288，共有 6 个。
第二组输入数据，x 可以是 48、1776，共有 2 个。
首先，直接暴力枚举只能过 $50%$ 的数据。
1. 关于两个定理：
最大公约数
int gcd(int a, int b){
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
最小公倍数
int lcm(int a, int b){
return a * b / gcd(a, b);
}
2. 一个结论：设 $gcd(x, a_0)=a_1$ ，并有
$$
\left{
\begin{aligned}
x=k_{1}*a_{1} \
a_{0}=k_{2}*a_{1}&
\end{aligned}
\right.
$$
则 $gcd(k_1,k_2)=1$ 。
证明：
假设 $gcd(k_1,k_2)\neq1$，$gcd(k_1,k_2)=K$，并有
$$
\left{
\begin{aligned}
k_{1}=pK \
k_{2}=qK&
\end{aligned}
\right.
$$
由假设得：
$$
\left{
\begin{aligned}
x=pKa_{1} \
a_{0}=qKa_{1}&
\end{aligned}
\right.
$$
可得 $gcd(x,a_0)=K*a_1\neq a_1$，结果与题目条件不符，假设不成立
则 $gcd(k_1,k_2)=1$
因此可得：
对于两个正整数 $a,b$ ，设 $gcd(a,b)=k$ 则存在 $gcd(a / k,b / k)=1$
3. 推导
由最大公约数定理
$$
gcd(x,a_{0})=a_{1}
$$
得
$$
gcd(\frac {x} {a_{1}} ,\frac {a_{0}}{a_{1}})=1
$$
由最小公倍数定理
$$
lcm(x,b_{0})=b_{1}=\frac {x*b_{0}}{gcd(x,b_{0})}
$$
则
$$
gcd(x,b_{0})=\frac{x*b_{0}}{b_{1}}
$$
得
$$
gcd(\frac {b_1} {b_{0}} ,\frac {b_{1}}{x})=1
$$
4. 最终可得如下结论：
$$
\left{
\begin{aligned}
gcd(\frac {x} {a_{1}} ,\frac {a_{0}}{a_{1}})=1 \
gcd(\frac {b_1} {b_{0}} ,\frac {b_{1}}{x})=1&
\end{aligned}
\right.
$$
#include
#include
#include
using namespace std;
int gcd(int a, int b){
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int main(){
int n;
cin >> n;
while(n--){
int a0, a1, b0, b1, ans = 0;
cin >> a0 >> a1 >> b0 >> b1;
for(int x = 1;x <= 0 1 sqrt(b1);x++){ if(b1 % x="=" 0){ if(x a1="=" && gcd(x a1, a0 a1)="=" gcd(b1 x, b1 b0)="=" 1){ ans++; } 枚举另一个因子 int y="b1" x; if(y="=" x){ continue; gcd(y y, if(ans !="0){" printf("%d\n", ans); }else{ printf("0\n"); return 0;